2  Conjuntos

2.1 Introducción a la teoría de conjuntos.

Por un conjunto entenderemos a una colección de objetos, donde debe quedar totalmente claro cuándo un objeto es miembro del conjunto y cuándo no. A los objetos que forman parte de un conjunto los llamaremos sus elementos. Así pues para dar un conjunto debemos decir quiénes son exactamente todos sus elementos y, así, dado cualquier objeto podamos decidir si es o no un elemento del conjunto.

Notación Para expresar que un objeto es elemento de un conjunto usaremos el símbolo \(\in\).

Escribiremos \(x\in A\) para expresar que

  • \(x\) es elemento de \(A\)
  • \(x\) es miembro de \(A\)
  • \(x\) pertenece a \(A\).

A \(\in\) se le conoce como el símbolo de pertenencia. Usaremos \(\notin\) para expresar la negación de la pertenencia (la no pertenencia), esto es, escribiremos \(x\notin A\) para expresar que

  • \(x\) no es elemento de \(A\)
  • \(x\) no es miembro de \(A\)
  • \(x\) no pertenece a \(A\).

Para dar un conjunto debemos expresar de alguna manera cuáles son los elementos que lo determinan. Principalmente hay dos formas de escribir los conjuntos: por extensión y por comprensión.

Para escribir un conjunto por extensión, se enumeran todos sus elementos separándolos con comas y luego se encierran entre llaves \(\{...\}\).

Para escribir un conjunto por comprensión se elige un elemento arbitrario \(x\) y se señala que cumple la propiedad \(P(x)\). Finalmente, se encierra toda la expresión entre llaves:

\[\begin{equation} A=\{x|P(x)\} \end{equation}\]

que se lee “\(A\) es el conjunto de todos los elementos \(x\) tales que cumplen la propiedad \(P(x)\)”.

Ejemplo 2.1 El conjunto vacío denotado por \(\emptyset\), es el conjunto que no tiene elementos, es decir, \(\emptyset=\{\,\}\). Así que para cualquier objeto arbitrario \(x\), se tiene que \(x\notin \emptyset\). A este conjunto también podemos describirlo mediante la proposición \(p(x) : x \neq x\), ya que para cualquier objeto \(x\), “\(x \neq x\)” es falsa y así, \(\emptyset=\{ x\,| x\neq x\}\).


Ejemplo 2.2 \(A = \{a\}\) es el conjunto que tiene un único elemento que es \(a\) y también podemos describirlo como \(A = \{x | x = a\}\). En este caso estamos usando la proposición \(p(x) : x = a\).


Ejemplo 2.3 Sean \(a\neq b\). \(A=\{a, b\}\) es el conjunto cuyos únicos elementos son \(a\) y \(b\). Si \(x\) es un objeto tal que \(x\neq a\) y \(x \neq b\), entonces \(x\notin A\). También se puede escribir \(A=\{x | x = a\, o \,x = b\}\). La proposición que usamos aquí es \(p(x): x=a \vee x = b\). A este conjunto se le llama par no ordenado de \(a\) y \(b\).


Ejemplo 2.4 Se pueden describir los elementos de un conjunto, usando proposiciones distintas, por ejemplo \[\begin{equation} A = \{x| x \text{ es un número natural y } x + 1 =2\}\qquad A=\{x| x \text{ es un número natural y } 0 < x < 2\}. \end{equation}\]

Estas proposiciones son: \(p(x): x\) es un número natural y \(x+1=2\) , \(q(x):x\) es un número natural y \(0<x<2\).


Definición 2.1 Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son iguales \((A = B)\) si ambos tienen exactamente los mismos elementos, es decir, \(A=B\) si y sólo si son verdaderas las proposiciones:

“si \(x\in A\), entonces \(x\in B\)” y “si \(x\in B\), entonces \(x\in A\)”.

Usando conectivos lógicos, la definición de igualdad se expresa:

\[\begin{equation} A = B \Leftrightarrow \forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \end{equation}\]

Para mostrar que dos conjuntos dados no son iguales basta exhibir un elemento de alguno de los conjuntos que no sea elemento del otro. Así \[\begin{equation} A\neq B \Leftrightarrow \exists x [(x\in A \wedge x \notin B) \vee (x \in B \wedge x \notin A)] \end{equation}\]

Observación Es importante mencionar que el orden en que se dan los elementos de un conjunto es irrelevante, es decir, para dar un conjunto basta decir quiénes son sus elementos sin importar el orden en que se dan.

\[\begin{equation} \{a, b\} = \{b, a\} \quad y \quad \{a, b, c\} = \{a, c, b\} = \{b,c,a\} = \cdots etc. \end{equation}\]

Además en el caso en que \(a=b, \{a,b\}=\{a,a\}=\{a\}\).

Definición 2.2 Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), diremos que \(A\) es un subconjunto de \(B\) y lo denotaremos por \(A\subseteq B\) (o \(B \supseteq A\)), si cada elemento de \(A\) es también elemento de \(B\).

\[\begin{equation} A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x(x \in A \Rightarrow x \in B) \end{equation}\]

Evidentemente si \(A=B\), entonces \(A\subseteq B\), así que en el caso en que \(A\subseteq B\) y \(A\neq B\), diremos que \(A\) es un subconjunto propio de \(B\) y lo denotaremos por \(A\subsetneq B\). En el caso de que \(A\) no sea subconjunto de \(B\), lo denotaremos por \(A\nsubseteq B\).

\[\begin{equation} A\nsubseteq B \Leftrightarrow \exists x(x \in A \wedge x \notin B) \end{equation}\]

Para mostrar que \(A \nsubseteq B\) es suficiente exhibir un elemento de \(A\) que no sea elemento de \(B\).

Teorema 2.1 Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son iguales si y sólo si \(A\subseteq B\) y \(B\subseteq A\).


Teorema 2.2 Sean \(A\) y \(B\) conjuntos arbitrarios. Entonces

  1. \(\emptyset \subseteq A\).

  2. \(A\subseteq A\) .

  3. Si \(A \subseteq B\) y \(B \subseteq C\), entonces \(A \subseteq C\).


Observación. \(A\neq \emptyset\) significa que \(A\) tiene por lo menos un elemento y en este caso se tendrá \(\emptyset \subsetneq A\), que es, \(\emptyset\) es un subconjunto propio de \(A\).


2.2 Operaciones con conjuntos.

2.2.1 Unión.

Definición 2.3 Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. La unión de \(A\) y \(B\) es el conjunto

\[\begin{equation} A\cup B=\{ x| x\in A \vee x\in B\} \end{equation}\]


Según la definición, se tiene entonces que

\[\begin{equation} x\in A\cup B \Leftrightarrow (x\in A \vee x\in B ) \end{equation}\]

Consideremos \(A\) y \(B\) subconjuntos de un conjunto \(X\), entonces para mostrar que un objeto \(x\) no es elemento de \(A \cup B\), se debe verificar que “\(x \in A \vee x\in B\)” es falsa, lo que es equivalente a que “\(x \notin A \wedge x \notin B\)” es verdadera. Así tenemos

\[\begin{equation} x\notin A \cup B \Leftrightarrow (x \notin A \wedge x \notin B). \end{equation}\]

Teorema 2.3 Sean \(A\) , \(B\) y \(C\) conjuntos. Entonces

  1. \(A \subseteq A \cup B;\,\, B \subseteq A \cup B\).
  2. \(A = A \cup \emptyset;\,\,A\cup A = A\).
  3. \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\).
  4. \(A \cup B = B \cup A\).
  5. \(A \cup B = B\) si y sólo si \(A \subseteq B\).

2.2.2 Intersección.

Definición 2.4 Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. La intersección de \(A\) y \(B\) es el conjunto

\[\begin{equation} A\cap B = \{ x |x \in A \wedge x \in B \}. \end{equation}\]

Usando los conectivos lógicos se tiene que \[\begin{equation} x\in A\cap B \Leftrightarrow (x \in A \wedge x \in B ) \end{equation}\]


Según la definición, para que un elemento pertenezca a \(A\cap B\), éste debe pertenecer a ambos conjuntos \(A\) y \(B\), esto es, la intersección de dos conjuntos consiste de los elementos que son comunes a ambos conjuntos.

Si los conjuntos \(A\) y \(B\) no tienen elementos en común, se tendrá pues que \(A \cap B=\emptyset\) y en este caso diremos que \(A\) y \(B\) son conjuntos ajenos.

Veamos ahora qué significa que un objeto \(x\) no pertenece a \(A\cap B\). Para que un objeto \(x\) pertenezca a \(A\cap B\), \(x\) deberá ser elemento tanto de \(A\) como de \(B\), así que basta con que alguna de estas afirmaciones falle para que \(x\) no sea elemento de \(A\cap B\). Entonces

\[\begin{equation} x\notin A \cap B \Leftrightarrow (x \notin A \vee x \notin B). \end{equation}\]

Teorema 2.4 Sean \(A\), \(B\) y \(C\) conjuntos. Entonces

  1. \(A \cap B \subseteq A;\,\, A \cap B \subseteq B.\)
  2. \(A \cap \emptyset = \emptyset;\,\, A \cap A= A.\)
  3. \(( A\cap B ) \cap C = A \cap ( B \cap C).\)
  4. \(A \cap B = B \cap A.\)
  5. \(A \cap B = A\) si y sólo si \(A \subseteq B.\)


Otras propiedades de la unión y la intersección.

Teorema 2.5 Sean \(A\), \(B\) y \(C\) conjuntos.

  1. Si \(A \subseteq B\), entonces \(A \cup C \subseteq B \cup C\).
  2. Si \(A \subseteq B\), entonces \(A \cap C \subseteq B \cap C\).
  3. Si \(A \subseteq C\) y \(B \subseteq C\), entonces \(A \cup B \subseteq C\).
  4. Si \(C \subseteq A\) y \(C \subseteq B\), entonces \(C \subseteq A\cap B\).


Teorema 2.6 Sean \(A\), \(B\) y \(C\) conjuntos. Entonces

  1. \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).\)
  2. \(A \cap ( B \cup C ) = (A \cap B) \cup (A \cap C).\)


2.2.3 Diferencia.

Definición 2.5 Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. La diferencia de \(A\) y \(B\) es el conjunto

\[\begin{equation} A-B = \{ x | x \in A \wedge x \notin B\}. \end{equation}\]

Expresemos, usando conectivos lógicos, cuándo un objeto es elemento de \(A-B\).

\[\begin{equation} x\in A-B \Leftrightarrow (x\in A \wedge x\notin B). \end{equation}\]

Para mostrar que un objeto no pertenece a \(A-B\), de la definición, basta ver que \(x\notin A\) o \(x\in B\), es decir, \[\begin{equation} x\notin A-B \Leftrightarrow (x\notin A \vee x\in B) \end{equation}\]

Ejemplo 2.5 Sea el conjunto de todos los números naturales y \[\begin{equation} B = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ es un número par} \}. \end{equation}\]

Teniendo en cuenta que un número natural es par o impar pero no ambos, \[\begin{equation} \mathbb{N} - B = \{ x \in \mathbb{N} | x \text{ no es un número par}\} = \{x | x \in \mathbb{N} \,y\, x \text{ es un número impar}\} \end{equation}\] y

\[\begin{eqnarray} B - \mathbb{N} & = & \{x \in B| x\notin \mathbb{N}\}\\ & = & \{x \in \mathbb{N} | x \text{ es un número par y } x \notin \mathbb{N}\}\\ & = & \emptyset. \end{eqnarray}\]

De este ejemplo podemos concluir que la diferencia de conjuntos no es una operación conmutativa, es decir, en general \(A - B \neq B - A\). Más aún \((A-B)\cap(B-A) = \emptyset\).


Proposición 2.1 Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Entonces

  1. \(A-A=\emptyset\) ; \(A-\emptyset=A\).
  2. \(A-B \subset A\).
  3. \(( A - B ) \cap B = \emptyset\).
  4. \(A - B = A\) si y sólo si \(A\cap B = \emptyset\).

Observación Como \((A - B) \cap B = \emptyset\) y \(B - A \subseteq B\), entonces \((A - B) \cap(B - A ) =\emptyset\).

La diferencia de conjuntos tampoco es asociativa.

Ejemplo 2.6 Consideremos \(A= \{a,b, 1,2,7 ,9\}\), \(B = \{a, 2,3,4, 5\}\) y \(C =\{b, 1,4, 7,10\}\). Como \(A - B = \{b, 1, 7, 9\}\), \(B - C=\{a, 2,3,5\}\), entonces \((A - B ) - C =\{9\}\) y \(A - (B - C) = \{b, 1,7,9\}\). Por lo tanto \((A - B) - C \neq A - (B - C)\).

Aún cuando la diferencia no distribuye a la unión ni a la intersección, sí satisface las siguientes propiedades conocidas como las leyes de De Morgan.

Teorema 2.7 (Leyes de De Morgan). Sean \(A\) , \(B\) y \(C\) conjuntos. Entonces

  1. \(A - ( B\cup C )=(A-B)\cap ( A-C)\).
  2. \(A - (B\cap C )=(A-B)\cup (A-C)\).


Aunque no existe un conjunto universal que tenga como elementos a todos los conjuntos, en matemáticas es usual que se trabaje con conjuntos que son subconjuntos de un conjunto fijo \(X\) dado de antemano. En este caso se define el complemento de un conjunto \(A\) en \(X\) (recordemos que estamos considerando \(A \subseteq X\)) como la diferencia \(X-A\) y la cual denotamos por \(A^c\), es decir, \(A^c=X-A\).

Por ejemplo, las leyes de De Morgan, pueden ser escritas de la siguiente manera: \[\begin{equation} (A\cup B)^c = A^c \cap B^c\quad y\quad (A \cap B)^c = A^c \cup B^c. \end{equation}\]

2.3 Conjunto potencia.

Definición 2.6 Dado un conjunto \(X\), el conjunto potencia de \(X\), también llamado partes de \(X\), es el conjunto

\[\begin{equation} \mathscr{P}(X)=\{ A| A \subseteq X \}. \end{equation}\]

Nótese que todos los elementos de \(\mathscr{P}(X)\) son conjuntos.

Como para cada conjunto \(X,\emptyset\subseteq X\), entonces \(\mathscr{P}(X) \neq \emptyset\) para todo conjunto \(X\) y en el caso en que \(X\neq \emptyset\), \(\mathscr{P}(X)\) tendrá por lo menos dos elementos que son \(\emptyset\) y \(X\).

2.4 Producto cartesiano.

Una pareja ordenada consiste de una pareja de objetos de los cuales debe quedar claro quién va en primer lugar y quién en segundo. Se denotará a la pareja ordenada de los objetos \(a\) y \(b\) por \((a,b)\) y se deberá definir de tal manera que se satisfaga:

\[\begin{equation} (a,b)=(c,d)\text{ si y sólo si } a=c \quad y \quad b=d \end{equation}\]


Definición 2.7 Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. El producto cartesiano de \(A\) y \(B\) denotado por \(A\times B\) es el conjunto

\[\begin{equation} A\times B = \{(a, b) | a \in A,\, b \in B\}. \end{equation}\]


Dada una pareja ordenada \((a, b)\), para que sea elemento de \(A \times B\), se debe tener, por definición, que \(a\in A\) y \(b \in B\), es decir,

\[\begin{equation} (a,b) \in A \times B \Leftrightarrow (a \in A \wedge b \in B). \end{equation}\]

Si una pareja \((c, d)\) no pertenece a \(A \times B\) significa que no se cumplen al mismo tiempo las dos propiedades \(c \in A\) y \(d \in B\) lo que significa que se debe tener que \(c \notin A\) o \(d \notin B\). Entonces

\[\begin{equation} (c,d) \notin A \times B \Leftrightarrow ( c \notin A \vee d \notin B ). \end{equation}\]


Teorema 2.8 Sean \(A , B , C\) y \(D\) conjuntos no vacíos tales que \(A \times B = C \times D\). Entonces \(A=C\) y \(B = D\).

Si \(A\neq B\) y ambos son no vacíos, entonces \(A \times B \neq B \times A\).