5  Los números naturales

5.1 Números naturales, adición, multiplicación y orden

Denotaremos con $\mathbb{N}$ al conjunto de los números naturales:

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \},$$

algunos autores consideran a los números naturales a partir de $0$, $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$.

La adición $+$ y la multiplicación $\cdot$ de números naturales tienen las siguientes propiedades.

Propiedades de la adición. Para cualesquiera $m,n,r\in \mathbb{N}$

($S_1$). Propiedad asociativa $(m+n)+r=m+(n+r)$

($S_2$). Propiedad conmutativa $m+n=n+m$

($S_3$). Ley de cancelación por la izquierda Si $m+n=m+r$ entonces $n=r$

($S_{3^{\prime }}$). Ley de cancelación por la derecha Si $m+n=r+n$ entonces $m=r$

Propiedades de la multiplicación. Para cualesquiera $m,n,r\in \mathbb{N}$

($P_1$). Propiedad asociativa $(m\cdot n)\cdot r=m\cdot (n\cdot r)$

($P_2$). Propiedad conmutativa $m\cdot n=n\cdot m$

($P_3$). Existencia del neutro multiplicativo: 1. $m\cdot 1=1\cdot m=m$

($P_4$). Ley de cancelación por la izquierda Si $m\cdot n=m\cdot r$ entonces $n=r$

($P_{4^{\prime }}$). Ley de cancelación por la derecha Si $m\cdot n=r\cdot n$ entonces $m=r$

Distributividad del producto sobre la suma Para cualesquiera $m,n,r\in \mathbb{N}$

($D$) $m\cdot (n+r)=m\cdot n+m\cdot r$.

Las propiedades ($S_3$) y ($S_{3^{\prime }}$) son equivalentes y lo mismo sucede con ($P_4$) y ($P_{4^{\prime }}$). Cada una de ellas se deduce de la otra usando la conmutatividad.

Proposición 5.1 El neutro multiplicativo es único, es decir, el $1$ es el único número natural que satisface $m\cdot 1=m=1\cdot m$ para todo $m\in \mathbb{N}$.

Definición 5.1 Sean $m,n\in \mathbb{N}$. Diremos que $m<n$ si existe $r\in \mathbb{N}$, tal que $m+r=n$.

A continuación se enuncian algunas propiedades del orden definido en el conjunto de los números naturales.

Teorema 5.1 Sean $m,n,r,s\in \mathbb{N}$

1. Si $m<n$, entonces $m+r<n+r$.

2. Si $m<n$ y $r<s$, entonces $m+r<n+s$.

3. Si $m<n$, entonces $m\cdot r<n\cdot r$.

4. Si $m<n$ y $r<s$, entonces $m\cdot r<n\cdot s$.

Definición 5.2 Sean $m,n\in \mathbb{N}$ tales que $m<n$. Al único número natural $r$ que satisface $m+r=n$ lo llamaremos la diferencia de $n$ y $m$, será denotado por $n-m$.

Debe quedar claro que la diferencia $n-m$ sólo está definida en $\mathbb{N}$ cuando $m<n$. Además, por la definición de $n-m$ se tiene que $n-m<n$, ya que $m+(n-m)=n$.

El orden definido en $\mathbb{N}$ es un buen orden, es decir,

Teorema 5.2 (Axioma del Buen Orden). Si $A\subseteq \mathbb{N}$ y $A\ne \mathrm{\varnothing }$, entonces $A$ tiene un elemento mínimo.

Teniendo en cuenta el Axioma del Buen Orden podemos definir una función

$$s:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$$

llamada la función sucesor, como sigue:

$$s(n)=min\{m\in \mathbb{N}|n<m\}$$

Para todo número natural $n$, a $s(n)$ lo llamamos el sucesor de $n$.

Nota. Sabemos que $n<n+k$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y por lo tanto $\{m\in \mathbb{N}|n<m\}\ne \mathrm{\varnothing }$. Para un número natural $n$, $s(n)$ satisface $n<x\le s(n)\Rightarrow x=s(n)$.

Proposición 5.2 $s(n)=n+1$ para todo $n\in \mathbb{N}$

Corolario 5.1 Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Si $n<m$, entonces $n+1\le m$.

Corolario 5.2 Sean $n,x\in \mathbb{N}$, si $n\le x\le n+1$, entonces $x=n$ o $x=n+1$.

Si $1<n$, entonces $n-1$ es el número natural tal que $(n-1)+1=n$, y por lo tanto, se tendrá por la proposición anterior que $s(n-1)=n$, así que llamamos a $n-1$ el antecesor de $n$ con lo cual se tiene que todo número natural salvo $1$ es sucesor de algún número natural, es decir, $Im(s)=\mathbb{N}-\{1\}$.

Los números naturales, escritos en forma ascendente mediante el orden, son

$$1<s(1)=1+1=2<s(2)=2+1=3<\cdots <s(n)=n+1<\cdots ,$$

es decir

$$1<2<3<\cdots <n<n+1<\cdots .$$

5.2 Principio de inducción completa.

Sea $S(x)$ un predicado y supongamos que cada vez que damos un número natural $n$, la proposición $S(n)$ resulta verdadera.

Supongamos que a partir del hecho de que $S(n)$ es verdadera $(n\in \mathbb{N})$ podemos demostrar que $S(n+1)$ es verdadera. Entonces tendríamos que:

• si $S(1)$ es verdadera, entonces $S(2)$ es verdadera,

• como $S(2)$ es verdadera, entonces $S(3)$ es verdadera,

• como $S(3)$ es verdadera, entonces $S(4)$ es verdadera, etc.

Intuitivamente podríamos concluir que $S(n)$ es verdadera para todo $n\in \mathbb{N}$ ya que teniendo en cuenta que el orden en $\mathbb{N}$ es total, a los números naturales los podemos presentar en forma ascendente (respecto al orden) $1<2<3<\cdots$ , donde dado un número natural éste aparece en algún lugar de esta sucesión.

A este principio se le conoce como Principio de Inducción Completa.

Principio de Inducción Completa. Sea $A\subset \mathbb{N}$ tal que

1. $1\in A$

2. $n\in A$ implica $n+1\in A$ .

Entonces $A=\mathbb{N}$.

Sea $S(n)$ una proposición. Si queremos demostrar que $S(n)$ es verdadera para todo $n\in \mathbb{N}$, es decir, que

$$A=\{n\in \mathbb{N}|S(n)\text{ es verdadera}\}=\mathbb{N}.$$

es suficiente mostrar que $A$ satisface las dos hipótesis del Principio de Inducción Completa.

Teorema 5.3 El Axioma del Buen Orden es equivalente al Principio de Inducción Completa.

Podrá suceder que una proposición $S(n)$ no sea verdadera para algunos números naturales que son menores que cierto número $k$, pero sí lo es para todo número natural $j$ tal que $j\ge k$. Se puede usar también el principio de inducción considerando el conjunto

$$A=\{n\in \mathbb{N}|S(n+k)\text{ es verdadera }\},$$

en cuyo caso esto se reduce a demostrar que:

1. $S(k)$ es verdadera

2. Si $S(n)$ es verdadera y $n\ge k$, entonces $S(n+1)$ es verdadera.

Ejercicios. Demostrar por inducción.

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=n^2$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$$

$$\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^3=n^2(2n^2-1)$$

$$\sum _{k=1}^{n}5k=\frac{5n(n+1)}{2}$$

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{(n+1)}$$

$$\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k}k=\{\begin{array}{lc}\frac{n}{2}& \text{ si n es par}\\ -\frac{(n+1)}{2}& \text{ si n es impar}\end{array}$$

$$\sum _{k=1}^n(-1{)}^k{k}^2=\frac{(-1{)}^{n}n(n+1)}{2}$$