3 Funciones

Antes de brindar una definición de función, es necesario establecer el concepto de relación binaria.

Definición 3.1 Sean \(X\) y \(Y\) conjuntos. Una relación \(R\) de \(X\) en \(Y\) es un subconjunto del producto cartesiano de \(X\) y \(Y\), es decir, \(R \subseteq X \times Y\) . Si \(R\) es una relación de \(X\) en \(Y\) y \((x, y )\in R\), diremos que \(x\) está relacionado con \(y\).

Si \(R\) es una relación de \(X\) en \(Y\) y \((a, b) \in R\), diremos que \(a\) está relacionado con \(b\) respecto a \(R\).

Para dar una relación son tres datos los que debemos presentar: el conjunto \(X\) , el conjunto \(Y\) y el subconjunto \(R\) de \(X \times Y\).

Definimos a continuación una función como una relación que satisface ciertas condiciones.

Definición 3.2 Sean \(X\) y \(Y\) conjuntos no vacíos. Una función o aplicación, \(f\) de \(X\) en \(Y\), que se denota como \(f:X\longrightarrow Y\), es una relación de \(X\) en \(Y\) en la que cada elemento de \(X\) aparece exactamente una vez como la primera componente de un par ordenado en la relación.

Es decir, una función \(f\) de \(X\) en \(Y\) es una correspondencia entre elementos de \(X\) y elementos de \(Y\) tal que a cada elemento de \(X\) le debe corresponder un único elemento de \(Y\).

Definición 3.3 Dada una función \(f:X\longrightarrow Y\), el conjunto \(X\) es denominado el dominio de la función y el conjunto \(Y\) el contradominio o codominio de \(f\). Utilizamos la notación \(Dom(f)=X\) y \(Cod(f)=Y\).

Notación. Dada una función \(f:X\longrightarrow Y\), y dado un elemento \(x\in X\), al único elemento \(y\in Y\) tal que \((x, y)\in f\) lo denotaremos por \(f(x)\) y lo llamamos la imagen de \(x\) bajo la función \(f\). Así pues la función queda determinada por \(X\) (dominio), \(Y\) (codominio) y el valor de \(f(x)\) para cada \(x\in X\). Llamaremos a \(f(x)\) la regla de correspondencia

Otra notación usual es \[\begin{equation} X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y \end{equation}\]

Ejemplo 3.1 Para cada conjunto \(X\), definimos la función identidad \(1_X:X\longrightarrow X\), con la siguiente regla de correspondencia \[\begin{equation} 1_X(x)=x \end{equation}\]

Ejemplo 3.2 Sean \(X\) y \(Y\) conjuntos y \(y_0 \in Y\) un elemento fijo. Definimos la función \(f:X\longrightarrow Y\), cuya regla de correspondencia es \(f(x)=y_0\) y es denominada la función constante igual a \(y_0\).

Teorema 3.1 Las funciones \(f : X \longrightarrow Y\) y \(g : X '\longrightarrow Y'\) son iguales si y sólo si \(X=X '\), \(Y=Y'\) y \(f(x) = g(x)\) para toda \(x \in X\).

Resumiendo, una función consiste de tres datos que son el dominio, el codominio y lo que hemos llamado la regla de correspondencia, que es, para cada \(x\) del dominio debemos decir quién es \(f(x)\).

Ejemplo 3.3 Sean \(f : X \longrightarrow Y\) una función, \(X'\subset X\) y \(g : X' \longrightarrow Y\) con regla de correspondencia \(g(x) = f(x)\) para toda \(x \in X '\). \(g\) es una función que se llama la restricción de \(f\) a \(X'\) y se denota por \(f|_{X'}\). En particular a la restricción de \(1_X\) en \(X'\) , \(1_X|_{X'}: X ' \longrightarrow X\) se le llama función inclusión de \(X'\) en \(X\).

Observación. Cuando construyamos una función debemos tener cuidado en que ésta esté bien definida, es decir, a cada \(x\) en el dominio no sólo le debe corresponder un único elemento sino que éste pertenezca efectivamente al codominio.

Ejemplo 3.4 Sea \(f: \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{Z}\) cuya regla de correspondencia está dada por \(f(x)=x-x^2\). La relación de \(\mathbb{Z}\) en \(\mathbb{N}\) con la misma regla de correspondencia no es una función ya que, por ejemplo, \(f(2)=2-2^2=-2\notin \mathbb{N}\).

Definición 3.4 Sea \(f : X \longrightarrow Y\) una función. La imagen de \(f\) está dada por, \[\begin{equation} Im(f) = \{y \in Y| \text{ existe } x \in X \text{ tal que } f(x) = y\}. \end{equation}\]

Esto es, \(y \in Im (f) \Leftrightarrow \exists x \in X, y=f(x)\).

También podemos describir la imagen de \(f\) como \[\begin{equation} Im(f)=\{f(x)|x\in X\} \end{equation}\]

Se pueden componer dos funciones cuando el codominio de la primera coincide con el dominio de la segunda y en estos términos tenemos:

Definición 3.5 Sean \(f: X \longrightarrow Y\) y \(g : Y\longrightarrow Z\) funciones. La composición de \(f\) con \(g\) es la función \(h : X\longrightarrow Z\) dada por \(h(x)=g(f(x))\), para cada \(x \in X\). A esta función \(h\) la denotamos por \(g \circ f\). En diagrama

Nota. Al hacer la composición \(g \circ f\) , \(g\) solamente toma valores en \(Im (f)\) y teniendo en cuenta esto se puede definir la composición de manera más general: si \(f: X \longrightarrow Y\) es una función y \(g: Z \longrightarrow W\) es una función tal que \(Im (f)\subseteq Z\). Entonces \(g\circ f\) es una función de \(X\) a \(W\).

Proposición 3.1 Sea \(f : X \longrightarrow Y\) una función. Entonces

\(f\circ 1_X=f,\)
\(1_Y\circ f=f\).

Teorema 3.2 Sean \(f : X\longrightarrow Y\), \(g : Y \longrightarrow Z\) y \(h : Z \longrightarrow W\) funciones. Entonces \((h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)\). Esto es, la composición de funciones es asociativa.

Es importante hacer notar que en caso de que se pueda realizar la composición \(g \circ f\), no necesariamente se puede hacer la composición \(f \circ g\). Para que existan ambas composiciones debemos tener que el contradominio de \(f\) debe ser igual al dominio de \(g\) y el codominio de \(g\) debe ser igual al dominio de \(f\). Sin embargo aún en estos casos sucede generalmente que ambas composiciones no son iguales, es decir en general \(g \circ f \neq f\circ g\).

Definición 3.6 Sean \(f : X \rightarrow Y\) una función, \(A \subseteq X\) y \(B \subseteq Y\).

La imagen directa de \(A\) bajo \(f\) es el conjunto

\[\begin{equation} f[A]= \{f(x) | x \in A \} \subseteq Y \end{equation}\]

La imagen inversa de \(B\) bajo \(f\) es el conjunto

\[\begin{equation} f^{-1}[B] = \{ x \in X| f (x) \in B \} \subseteq X \end{equation}\]

Entonces, para cada \(x\in X\) y \(y \in Y\) tenemos

\[\begin{equation} y\in f[A]\Longleftrightarrow \exists x\in A f(x)=y;\qquad x\in f^{-1}[B]\Longleftrightarrow f(x)\in B \end{equation}\]

La negación de ambas sería, respectivamente \[\begin{equation} y\notin f[A]\Longleftrightarrow \forall x\in A f(x)\neq y;\qquad x\notin f^{-1}[B]\Longleftrightarrow f(x)\notin B \end{equation}\]

Teorema 3.3 Sea \(f : X \rightarrow Y\) una función, \(A_1,A_2\subset X\) y \(B_1 , B_2 \subseteq Y\). Entonces

\(A_1\subseteq A_2\) implica \(f[A_1]\subset f[A_2]\)
\(f[A_1 \cup A_2]= f[A_1] \cup f [A_2]\)
\(f[A_1 \cap A_2]\subseteq f[A_1] \cap f [A_2]\)
\(f[A_1 - A_2]\supseteq f[A_1]-f[A_2]\),
\(B_1\subset B_2\) implica \(f^{-1}[B_1]\subset f^{-1}[B_2],\)
\(f^{-1} [B_1 \cup B_2] = f^{-1}[B_1] \cup f^{-1}[B_2],\)
\(f^{-1}[B_1\cap B_2]=f^{-1}[B_1]\cap f^{-1} [B_2]\)
\(f^{-1}[B_1- B_2]=f^{-1}[B_1]- f^{-1} [B_2]\),
\(f^{-1}[f[A_1]]\supseteq A_1\),
\(f[f^{-1}[B_1]]\subseteq B_1\).

3.1 Funciones inyectivas y sobreyectivas.

Definición 3.7 Se dice que una función \(f : X \rightarrow Y\) es inyectiva si para cada pareja de elementos \(x_1, x_2\in X\), si \(x_1\neq x_2\), entonces \(f(x_1) \neq f(x_2)\).

De manera equivalente, una función \(f : X \rightarrow Y\) es inyectiva si y sólo si para cualesquiera \(x_1, x_2 \in X\), \(f (x_1) = f( x_2)\) implica \(x_1 = x_2\).

Entonces según la definición, para mostrar que una función \(f\) no es inyectiva basta mostrar una pareja de elementos \(x_1\) y \(x_2\) en el dominio de \(f\) tales que \(x_1\neq x_2\) y \(f(x_1)=f(x_2)\).

Ejemplo 3.5 Sea \(f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\), dada por \(f(x)=x^2\). \(f\) no es inyectiva, ya que \(1\neq -1\) y \(f(1)=1=f(-1)\).

Teorema 3.4 Sean \(f : X \rightarrow Y\) y \(g : Y \rightarrow Z\) funciones.

Si \(f\) y \(g\) son inyectivas, entonces \(g \circ f\) es inyectiva.
Si \(g \circ f\) es inyectiva, entonces \(f\) es inyectiva.

Definición 3.8 Una función \(f : X\rightarrow Y\) es suprayectiva o sobreyectiva si \(Im(f)=Y\).

Debido a que para cualquier función \(f: X \rightarrow Y\) siempre se tiene que \(Im(f)\subseteq Y\), para que una función \(f:X \rightarrow Y\) sea sobreyectiva bastará ver que \(Y \subseteq Im (f)\), es decir, para toda \(y\in Y\) debe existir \(x\in X\) tal que \(f(x) = y\).

Para mostrar que una función \(f : X\rightarrow Y\) no es sobreyectiva, basta exhibir un elemento \(y\in Y\) tal que \(f (x) \neq y\) para toda \(x \in X\).

Teorema 3.5 Sean \(f : X \rightarrow Y\) y \(g :Y \rightarrow Z\) funciones.

Si \(f\) y \(g\) son sobreyectivas, entonces \(g \circ f\) es sobreyectiva.
Si \(g \circ f\) es sobreyectiva, entonces \(g\) es sobreyectiva.

Definición 3.9 Una función \(f : X \rightarrow Y\) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Corolario 3.1 Sean \(f : X \rightarrow Y\) y \(g : Y \rightarrow Z\) funciones.

Si \(f\) y \(g\) son biyectivas, entonces \(g \circ f\) es biyectiva.
Si \(g \circ f\) es biyectiva, entonces \(f\) es inyectiva y \(g\) es sobreyectiva.

Sea \(f : X \rightarrow Y\) una función.

Una función \(g : Y \rightarrow X\) se llama un inverso izquierdo de \(f\) si

\[\begin{equation} g\circ f=1_X. \end{equation}\]

Una función \(g : Y \rightarrow X\) se llama un inverso derecho de \(f\) si

\[\begin{equation} f\circ g = 1_Y. \end{equation}\]

Teorema 3.6 Sea \(f : X \rightarrow Y\) una función. Entonces

\(f\) es inyectiva si y sólo si \(f\) tiene un inverso izquierdo.
\(f\) es suprayectiva si y sólo si \(f\) tiene un inverso derecho.

Corolario 3.2 Una función \(f : X \rightarrow Y\) es biyectiva si y sólo si \(f\) tiene inverso izquierdo y derecho.

Teorema 3.7 Si \(f : X \rightarrow Y\) es una función biyectiva, entonces cualquier inverso izquierdo de \(f\) es igual a cualquier inverso derecho de \(f\). Esto es, existe una única función \(g: Y \rightarrow X\) tal que \(g \circ f = 1_X\) y también tal que \(f\circ g = 1_Y\).

En el caso de que \(f\) sea una función biyectiva, cualquier inverso izquierdo es igual a cualquier inverso derecho, lo que significa que \(f\) tiene un único inverso izquierdo y un único inverso derecho que además deben ser iguales.

A la función única del teorema anterior la denotamos por \(f^{-1}\) y la llamamos función inversa de \(f\) y diremos que \(f\) es una función invertible.

En muchas ocasiones se trabaja con conjuntos distinguiendo a sus elementos por subíndices, especialmente cuando se trata de conjuntos cuyos elementos son conjuntos.

Con el concepto de función podemos formalizar esta idea: Sea \(C\) un conjunto y \(\varphi : I \rightarrow C\) una función sobreyectiva, donde \(I\) es un conjunto que actuará como el conjunto de índices. Podemos denotar a los elementos de \(C\) de la manera siguiente: si denotamos por \(A_i\) a la imagen de \(i\) bajo \(\varphi\), es decir, \(\varphi(i) = A_i\). Entonces \(C\) puede describirse como \(C = \{ A_i | i\in I\}\) o más simplemente como \(C = \{A_i\}_{i\in I}\) y decimos que \(C\) es un conjunto (o familia) indicado(a) (o indexado), donde \(I\) es el conjunto de índices.

Cabe mencionar la función \(\varphi\) no necesariamente es inyectiva, y no existe problema alguno si no lo es, pues en este caso, simplemente para elementos distintos \(i , j\in I\) tales que \(\varphi(i) = \varphi(j)\) se tendrá \(A_i = A_j\).

Si queremos ser más específicos y describir los elementos de \(C\) tal que \(A_i \neq A_j\) si \(i\neq j\) , basta considerar \(I\) tal que \(\varphi : I \rightarrow C\) es biyectiva.

Resumiendo, por \(C = \{A_i\}_{i\in I}\) entenderemos que está dada una función sobreyectiva (o en su caso biyectiva) \(\varphi : I \rightarrow C\) tal que \(\varphi(i) = A_i\).