7 Los números reales
El sistema de los números reales, denotado por \(\mathbb{R}\), consiste en un conjunto de objetos primitivos \(a, b, c, ...\), que contiene al menos dos elementos. En él están definidas dos operaciones (relaciones primitivas), llamadas adición y multiplicación, representadas por los signos \(+\) y \(\cdot\), respectivamente, que cumplen con un conjunto de axiomas que pueden separarse, de manera natural, en tres partes:
Axiomas y propiedades de campo (adición y multiplicación).
Axiomas y propiedades de orden.
Axioma de Dedekind o propiedad de ser completos o completez.
7.1 Axiomas de campo
Las propiedades que caracterizan las operaciones de adición y multiplicación en el conjunto de los números reales son llamadas propiedades de campo, y en general todo conjunto que las satisfaga se denomina campo.
Axioma C1. Leyes conmutativas. Para cualesquiera \(a, b\in \mathbb{R}\)
\[\begin{eqnarray} a+b &=& b+a\\ a\cdot b& =& b\cdot a \end{eqnarray}\]Axioma C2. Leyes asociativas. Para cualesqueira \(a, b, c \in \mathbb{R}\)
\[\begin{eqnarray} a+(b+c) &=& (a+b)+c\\ a\cdot (b\cdot c) &=& (a\cdot b)\cdot c \end{eqnarray}\]Axioma C3. Leyes distributivas. Para cualesqueira \(a, b, c \in \mathbb{R}\)
\[\begin{eqnarray} a\cdot (b+c) &=& a\cdot b+ a\cdot c\\ (a+b)\cdot c &=& a\cdot c+ b\cdot c \end{eqnarray}\]Axioma C4. Elementos identidad. \(\exists \,0,1\in \mathbb{R}, \, 0\neq 1\), tales que \(\forall a \in \mathbb{R}\)
\[\begin{eqnarray} a + 0 &=& a = 0+a\\ a\cdot 1 &=& a = 1\cdot a \end{eqnarray}\]Axioma C5. Elementos inversos. Para cualesquiera \(a, b\in \mathbb{R}\), con \(b\neq 0\) \(\exists \,x,y \in \mathbb{R}\) tales que
\[\begin{eqnarray} a+x &=& 0 = x+a\\ b\cdot y& =& 1 = y\cdot b \end{eqnarray}\]\(x\) y \(y\) se denotan por \(-a\) y \(b^{-1}\), respectivamente.
El elemento \(0\) del axioma \(C4\) se denomina el elemento identidad para la adición o cero. El elemento \(1\) es el elemento identidad para la multiplicación o uno. Estos elementos idénticos son los únicos que satisfacen las propiedades que les confiere el axioma \(C4\).
El número real \(—a\) del axioma \(C5\) se llama el inverso aditivo de \(a\) o negativo de \(a\), mientras que el inverso multiplicativo \(b^{-1}\) de un número real \(b\), distinto de cero, se llama el recíproco (o inverso multiplicativo) de \(b\).
El principio de sustitución de la lógica matemática, aplicado a las operaciones de adición y multiplicación, establece que, al ser \(a, b, c\) y \(d\) números reales:
\[\begin{equation} (a = c) \wedge (b = d) \Leftrightarrow (a + b = c + d) \wedge (ab = cd) \end{equation}\]En particular, si \(a = c\), es correcto escribir \(a + b = c + b\) y \(ab = cb\).
Por conveniencia, algunas veces se refiere uno a estas manipulaciones diciendo: agregando \(b\) a ambos lados de la igualdad \(a = c\) o multiplicando ambos lados por \(b\).
7.1.1 Algunas propiedades de campo de los números reales
Teorema 1. Ley de cancelación para la adición. Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\) \[\begin{equation} a+c=b+c\Longrightarrow a=b \end{equation}\]
Teorema 2. Multiplicación por cero. \(\forall a\in \mathbb{R}\), \(a\cdot 0=0=0\cdot a\).
Teorema 3. \(1\neq 0\).
Teorema 4. El \(0\) no tienen inverso multiplicativo.
Teorema 5. Cada número real tiene un único inverso aditivo.
Corolario 1. \(0=-0\).
Corolario 2. \(\forall\,a\in \mathbb{R}\), \(-(-a)=a\)
Teorema 6. Cada número real distinto de cero tiene un único inverso multiplicativo.
Teorema 7. Regla de los signos.
\[\begin{equation} \forall\, a, b\in \mathbb{R}, \, (-a)b=-(ab);\, a(-b)=-(ab) \end{equation}\]Corolario 1.
\[\begin{equation} \forall\, a, b\in \mathbb{R}, \, (-a)(-b)=ab \end{equation}\]La operación de sustracción en los números reales se define de la siguiente manera.
Definición 1. Definición de la sustracción.
Sean \(a,b\in \mathbb{R}\)
La expresión \(a-b\) se lee a menos b y se define como \(a+(-b)\).
Teorema 8.
\[\begin{equation} \forall\, a, b, c\in \mathbb{R}, \, a(b-c)=ab-ac \end{equation}\]Definición 2. Definición de la división.
Sean \(a,b\in \mathbb{R}\) y \(b\neq 0\).
La expresión \(a/b\) se lee cociente de \(a\) entre \(b\), \(a\) sobre \(b\) o fracción de \(a\) sobre \(b\) y se define como \(ab^{-1}\).
La definición de división permite escribir los inversos multiplicativos de otra forma; específicamente, si \(b\neq 0\), entonces
\[\begin{equation} b^{-1}=(1)b^{-1}=1/b \end{equation}\]Por lo tanto se puede escribir
\[\begin{equation} a/b=ab^{-1}=a(1/b) \end{equation}\]Es importante notar que como el número real cero no tiene inverso multiplicativo, la expresión \(a/0\) no está definida; es decir, en los números reales no es posible dividir entre cero.
Teorema 9.
Sean \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\) con \(b\neq 0\) y \(d\neq 0\). Entonces
\((a/b)(c/d)=ac/(bd)\)
\(ad/(bd)=a/b\)
\(a/b=c/d \Leftrightarrow ad=bc\)
\(a/b + c/d=(ad+bc)/bd\)
Teorema 10.
\[\begin{equation} \forall\, a, b\in \mathbb{R} \wedge \, ab=0 \Rightarrow \, a=0\, \vee \, b=0 \end{equation}\]7.2 Axiomas de orden
Este postulado permite hacer referencia a algunos números reales como positivos y a otros como negativos. Se usa también para definir las relaciones mayor que, menor que, máximos, mínimos, cotas superiores e inferiores, ínfimo y supremo en el conjunto \(\mathbb{R}\).
Axioma de orden.
El conjunto de los números reales contiene un subconjunto llamado conjunto de los reales positivos. Se representan como \(\mathbb{R}^+\) y posee la siguientes propiedades:
\(a,b\in \mathbb{R}^+ \Rightarrow a+b\in \mathbb{R}^+ \wedge ab\in \mathbb{R}^+\) (cerradura bajo sumas y productos)
si \(a\in \mathbb{R}\), entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es cierta
(ley de tricotomía).
Los números reales no nulos que no están en \(\mathbb{R}^+\) se llaman números reales negativos.
La colección de números reales negativos se denotará por \(\mathbb{R}^-\). El conjunto \(\mathbb{R}^+\) es no vacío, como puede verse en el siguiente teorema.
Teorema 11 \[\begin{equation} a\in \mathbb{R} \wedge a\neq 0\Rightarrow a^2\in \mathbb{R}^+ \end{equation}\]
Sean \(a, b \in \mathbb{R}\). Considere \(a − b\).
Por el axioma de orden, sólo una de las siguientes proposiciones es cierta:
\[\begin{equation} a-b = 0\vee a − b \in \mathbb{R}^+ \vee -(a - b) \in \mathbb{R}^+ \end{equation}\]Cuando \(a - b \in \mathbb{R}^+\), se dice que \(b\) es menor que \(a\) y se escribe \(b < a\).
Definición 3. Si \(a, b \in \mathbb{R}\), entonces \(b \leq a\) si \(b = a\) o \(b < a\).
Esta definición determina una relación de orden lineal en \(\mathbb{R}\); \(b\) está relacionado con \(a\) si y sólo si \(b \leq a\).
Definición 4. Si \(a,b \in \mathbb{R}\) entonces \(a\geq b \Leftrightarrow b\leq a\).
Mediante el uso de la relación de orden, la ley de tricotomía se expresa de la siguiente manera: Para todos \(a,b\in \mathbb{R}\), una y sólo una de las siguientes proposiciones es cierta:
\[\begin{equation} a=b, \, a>b,\, a<b. \end{equation}\]Teorema 12. Sea \(a\in \mathbb{R}\). Entonces \(a\in \mathbb{R}^{+}\) si y sólo si \(a>0\); \(-a\in \mathbb{R}^+\) si y sólo si \(a<0\).
Es decir, el resultado anterior indica que un número real es positivo si y sólo si es mayor que cero, y es negativo si y sólo si es menor que cero.
Teorema 13.
Si \(a,b\in \mathbb{R}\), son tales que \(a>0 \wedge b>0\), entonces \(a+b>0\) y \(ab>0\).
Si \(a\in \mathbb{R}\), entonces una y sólo una de las siguientes proposiciones es cierta: \(a=0\), \(a>0\) o \(a<0\).
Teorema 14.
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\).
\(a>b\wedge b>c \Rightarrow a>c\)
\(a>b\Rightarrow a+c >b+c\)
\(a>b\wedge c>0 \Rightarrow ac>bc\)
\(a>b\wedge c<0 \Rightarrow ac<bc\)
Teorema 15.
Sean \(a,b,c\in \mathbb{R}\).
\(a<b\wedge b<c \Rightarrow a<c\)
\(a<b\Rightarrow a+c <b+c\)
\(a<b\wedge c>0 \Rightarrow ac<bc\)
\(a<b\wedge c<0 \Rightarrow ac>bc\)
Teorema 16. Leyes de los signos. El producto y cociente de dos números reales no nulos son positivos si los dos números concuerdan en el signo y son negativos si los dos números difieren en el signo.
7.2.1 Subsistemas de los números reales
Se han asignado ya símbolos especiales a algunos números reales, como son \(0\) y \(1\), a partir de los cuales se definen algunos otros:
\[\begin{equation} \begin{gathered} 0+1=1 \\ 1+1=2 \\ 2+1=3 \\ 3+1=4 \\ \vdots \end{gathered} \end{equation}\]Al seguir este procedimiento se obtiene el conjunto \(\mathbb{N}\) de los números naturales:
\[\begin{equation} \mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots \} \subset \mathbb{R} \end{equation}\]Como el \(1\) es positivo, \(k\) positivo implica que \(k+1\) es positivo y, por lotanto, el conjunto de los números naturales diferente de cero \(\mathbb{N}^*\subset \mathbb{R}^+\).
Los inversos aditivos \(0, -1, -2, -3, \dots\) de los elementos en \(\mathbb{N}\) se denotan como \(\bar{\mathbb{N}}\). El conjunto \(\mathbb{Z}\) de los enteros se define como
\[\begin{equation} \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup \bar{\mathbb{N}} \end{equation}\]Dado que \(1\in \mathbb{R}^+\), se tiene que \(1>0\). Así
\[\begin{equation} 1+1>1+0, \text{ es decir, } 2>1 \end{equation}\]Análogamente
\[\begin{equation} 2+1>2 \end{equation}\]y al continuar de esta manera se observa que
\[\begin{equation} 0<1<2<3<4<5<\cdots \end{equation}\]Del mismo modo, dado que \(a<b\) implica \(-a>-b\), se tiene
\[\begin{equation} 0>-1>-2>-3>-4>-5>\cdots \end{equation}\]Al combinar ambas sucesiones resulta
\[\begin{equation} \cdots <-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<\cdots \end{equation}\]Observe que \(1\leq a\) para todo \(a\in \mathbb{N}^*\). Algunas veces se hace referencia a este hecho diciendo que \(1\) es el menor entero positivo.
Dado que no todo entero tiene inverso multiplicativo en \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}\) no es un campo, aunque satisface todas las demás propiedades de campo.
Definición 15. Definición de factor o divisor. Si \(a,b\in \mathbb{Z}\), y si \(a=bc\) para algún \(c\in \mathbb{Z}\), entonces \(b\) es llamado un factor o divisor de \(a\), y este último se conoce como múltiplo de \(b\) (y también de \(c\)).
Todo entero \(a\) tiene factores \(a, -a, 1\) y \(-1\). A éstos se les denomina frecuentemente como factores triviales de \(a\).
Definición 16. Definición de número primo. Un entero no nulo \(p\), diferente de \(1\) y \(-1\), se llama primo o irreducible si y sólo si sus únicos factores son triviales.
Con objeto de extender al conjunto de los enteros, de manera que en el nuevo conjunto todos sus elementos no nulos sean invertibles, se construye el conjunto \(\mathbb{Q}\) de los números racionales, que por esta razón constituyen un subcampo de los números reales.
Un número real se llama número racional si puedde escribirse en la forma \(a/b\), en donde \(a,b\in \mathbb{Z}\) y \(b\neq 0\).
El conjunto \(\mathbb{Q}\) es cerrado con respecto a la adición y a la multiplicación. Si el cociente \(a/b\neq 0\), entonces \(a\neq 0\) y, por lo tanto, \(b/a\in \mathbb{Q}\).
Obsérvese que
\[\begin{equation} \frac{a}{b} \frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}=1 \end{equation}\]lo que prueba que todo elemento distinto de cero tiene inverso.
Como cada entero \(a\) puede escribirse como \(a=a/1\), resulta que \(\mathbb{Z}\) está inmerso en \(\mathbb{Q}\).
Puede demostrarse que no existe un número racional \(x\) tal que \(x^2=2\). Sin embargo, un número real cuyo cuadrado es \(2\) existe y se denota por \(\sqrt{2}\). Existen muchos números reales que no son racionales y se llaman números irracionales, entre ellos \(\pi\), \(e\), la raíz \(n\)-ésima de todo entero que no sea entera como \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\).
El sistema de los números reales \(\mathbb{R}\) contiene muchos más números racionales que números raionales.
Definición 17. Definición de valor absoluto. El valor absoluto \(|a|\) de un número real \(a\), se define como
\(|a|= a\) si \(a\geq 0\).
\(|a|= -a\) si \(a< 0\).
De manera equivalente se puede definir \(|a|=max\{a, -a\}\).
Teorema 17. Para todos \(a,b \in \mathbb{R}\):
\(|a|=|-a|\)
\(|ab|=|a||b|\)
\(-|a|\leq a\leq |a|\).
Teorema 18. Si \(a,b\in \mathbb{R}\) y \(b>0\), entonces
\(|a|<b\) si y sólo si \(-b<a<b\)
\(|a|>b\) si y sólo si \(a>b\) o \(a<-b\)
\(|a|=b\) si y sólo si \(a=b\) o \(a=-b\).
El teorema 18 nos dice que \(|a|<b\) si y sólo si \(a\) está entre \(-b\) y \(b\)
7.3 Axioma de completez
Para caracterizar el sistema de los números reales se necesita un axioma, el de completez o teorema de Dedekind, cuyo enunciado requiere de algunas definiciones preliminares.
Definición 8. Sea \(S\) un conjunto no vacío de números reales.
Un número real \(u\) es una cota superior de \(S\) si \(s\leq u\) para todo \(s\in S\).
Un número real \(l\) es una cota inferior de \(S\) si \(l\leq s\) para todo \(s\in S\).
Un número real \(u'\) es la menor cota superior o supremo de \(S\) (\(sup\,S\)) si \(u'\) es una cota superior de \(S\) y es menor o igual que cualquier otra cota superior de \(S\). Es decir, una cota superior \(u'\) es el supremo del conjunto \(S\) si y sólo si para cualquier número \(a\) menor que \(u'\) existe un elemento del conjnto mayor que \(a\), ya que \(a\) no es una cota superior.
Un número real \(l'\) es la mayor cota inferior o ínfimo de \(S\) (\(inf\,S\)) si \(l'\) es una cota inferior de \(S\) y es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de \(S\).
No siempre existen cotas superiores o inferiores para subconjuntos de \(\mathbb{R}\). Sin embargo, está claro que si \(u\) es una cota superior de \(S\), entonces cualquier número mayor que \(u\) también es cota superior.
De la misma manera, cualquier número menor que una cota inferior también es cota inferior.
Teorema 19. Para un conjunto, si un supremo o un ínfimo existen, son únicos.
Axioma 6. Axioma de completez(o teorema de Dedekind). Sea \(S\) un conjunto no vacío de números reales. Si \(S\) tiene una cota superior, entonces tiene un supremo. Análogamente, si \(S\) tiene una cota inferior, tiene ínfimo.
A un campo que satisface el axioma de orden y el de completez se le conoce como campo ordenado completo. Puede demostrarse que el sistema de los números reales \(\mathbb{R}\) es el único campo ordenado completo.
7.3.1 Propiedad arquimediana de los números reales.
Dado un número arbitrariamennte pequeño \(\mu \in \mathbb{R}^+\) y un número \(M\in \mathbb{R}\) tan grande como se quiera, existe un número natural \(n_0\) tal que \(n_0\mu>M\).
7.4 Teorema del binomio
Teorema 20 Para todo \(n\in \mathbb{N}\) y cualesquiera números reales \(a, \, b\), se tiene:
\[\begin{equation} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \end{equation}\]donde
\[\begin{equation} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! (n-k)!} \end{equation}\]