6 Los números enteros
6.1 Presentación de los números enteros.
Sea \(-\mathbb{N}=\{-n|n\in \mathbb{N}\}\). El conjunto de los números enteros es \(\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup \{0\} \cup (-\mathbb{N})\). Entonces \(a\in \mathbb{Z}\) si y sólo si \(a=0\), \(a=n\) o \(a=-n\) para algún \(n\in \mathbb{N}\).
Para definir la adición y la multiplicación en \(\mathbb{Z}\) debemos considerar las cuatro posibilidades que existen para una pareja \(a\) y \(b\) de números enteros, que son \((*)\)
\(a=m, b=n\)
\(a=-m, b=-n\)
\(a=m, b=-n\)
\(a=-m, b=n\),
donde \(m,n\in \mathbb{N}\cup \{0\}\). Considerando estos cuatro casos que se pueden presentar para los enteros \(a\) y \(b\), definimos la adición de la siguiente manera.
Definición 6.1 Sean \(a\) y \(b\) números enteros, la suma de \(a\) y \(b\) está dada por
\[\begin{equation} a+b=\left\{\begin{array}{cc} m+n & \text { si }(1) \\ -(m+n) & \text { si }(2) \\ m-n & \text { si }(3) \text { y } n \leq m \\ -(n-m) & \text { si }(3) \text { y } m<n \\ n-m & \text { si }(4) \text { y } m \leq n \\ -(m-n) & \text { si }(4) \text { y } n<m \end{array}\right. \end{equation}\]Teorema 6.1 Propiedades de la adición. Sean \(a ,b ,c \in \mathbb{Z}\).
\((a + b) + c = a + (b + c)\) (propiedad asociativa).
\(a + b = b + a\) (propiedad conmutativa).
\(a + 0 = a\) (existencia de neutro aditivo).
Existe \(a' \in \mathbb{Z}\) tal que \(a + a' =0\), tal elemento será denotado como \(-a\) (existencia de inverso aditivo).
Definición 6.2 Sean \(a\) y \(b\) dos enteros cualesquiera, definimos el producto de ellos como
\[\begin{equation} a \cdot b=\left\{\begin{array}{rl} m \cdot n & si\,\,(1) \,\,o\,\,(2) \,\,de\,\,(*) \\ -(m \cdot n) & si\,\,(3) \,\,o\,\,(4) \,\,de\,\,(*) \end{array}\right. \end{equation}\]La adición y multiplicación definidos en \(\mathbb{Z}\) son una extensión de las correspondientes operaciones en \(\mathbb{N}\).
Teorema 6.2 (Propiedades de la multiplicación) Sean \(a, b, c \in \mathbb{Z}\).
\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) (propiedad asociativa).
\(a \cdot b = b \cdot a\) (propiedad conmutativa).
\(a \cdot 1 = a\) (existencia de neutro multiplicativo).
\(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\) (ley distributiva del producto respecto a la suma)
6.2 Anillos.
Definición 6.3 Una anillo \((R, +, \cdot)\) es un conjunto \(R\) junto con dos operaciones binarias que llamaremos adición y multiplicación denotadas por \(+\) y \(\cdot\) respectivamente, que satisfacen las siguientes propiedades para cualesquiera \(x, y , z \in R\).
\((x+y) + z = x + (y + z)\); (asociatividad de la adición).
\(x + y = y + x\); (conmutatividad de la adición).
Existe un elemento en \(R\), denotado por \(0\), tal que \(x + 0 = 0 + x = x\) (existencia de neutro aditivo).
Para todo \(x \in R\), existe \(w \in R\) tal que \(w + x = x + w = 0\) (existencia del inverso aditivo).
\((x\cdot y) \cdot z = x\cdot (y\cdot z)\), (asociatividad del producto).
Existe un elemento, denotado por \(1\), tal que \(x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\), (existencia del neutro multiplicativo).
(distributividad del producto respecto a la suma)
Si la multiplicación en un anillo es conmutativo diremos que es un anillo conmutativo.
Nota. Hemos usado los símbolos \(+\) y \(\cdot\) para denotar las operaciones definidas en el anillo y debe quedar claro que se trata únicamente de una notación, lo que significa que, en general, la adición y la multiplicación \(+\) y \(\cdot\) definidas en un anillo no son necesariamente la adición y multiplicación definidas en \(\mathbb{Z}\). También, en general, hemos denotado por \(0\) y por \(1\) al neutro aditivo y al neutro multiplicativo respectivamente. Sin embargo, la única relación que hay entre estos con el \(0\) y el \(1\) de los números enteros son las propiedades que los definen, de tal manera que, estos elementos \(0\) y \(1\), estarán determinados por la naturaleza de los elementos del conjunto \(R\) dado y las operaciones ahí definidas. En resumen, \(0\) y \(1\) son simplemente notaciones para el neutro aditivo y multiplicativo respectivamente en un anillo \(R\).
Proposición 6.1 \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) es un anillo conmutativo.
Sea \((R, +, \cdot)\) un anillo y sean \(x, y, z \in R\).
Si \(x + y = x + z\) o \(y + x =z + x\). entonces \(y = z\). (ley de cancelación para la adición).
El neutro aditivo es único.
Para cada \(x\in R\) el inverso aditivo es único.
El neutro multiplicativo es único.
\(x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0.\)
Notación. Como el inverso aditivo de cada elemento en un anillo es único, dada \(a\in R\). denotamos por \(-a\) al inverso aditivo de \(a\). Entonces \(-a\) es el único elemento en \(R\) que satisface
\[\begin{equation} a + (-a ) = (-a ) + a = 0. \end{equation}\]Proposición 6.2 Sea \((R; +, \cdot)\) un anillo. Entonces \(-a =(-1)\cdot a\), para cada \(a \in R\).
Proposición 6.3 Sea \((R ; +, \cdot)\) un anillo y sean \(a, b \in R\). Entonces
\(-(-a ) = a\).
\((-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -( a\cdot b)\). En particular, \((-1) b = -b\) .
\((-a ) \cdot (-b) = a \cdot b\).
Proposición 6.4 Sean \(a, b \in \mathbb{Z}\) . Si \(a \cdot b = 0\), entonces \(a=0\) o \(b=0\).
A los anillos que satisfacen las propiedades dadas en la proposición anterior, se les da un nombre especial que es
Definición 6.4 Un anillo conmutativo \((R ; +, \cdot)\) se llama dominio entero en el caso en que para cualesquiera \(x,y \in R\), si \(x\cdot y=0\) entonces \(x=0\) o \(y=0\).
6.3 Orden en los enteros.
Definición 6.5 Dados dos números enteros \(a\) y \(b\), diremos que \(a\) es menor que \(b\), y lo denotamos \(a < b\) (o \(b > a\)), si existe \(m\in \mathbb{N}\) tal que \(a + m=b\).
Evidentemente la relación dada en esta definición restringida a \(\mathbb{N}\) (es decir cuando \(a, b \in \mathbb{N}\)) coincide con la relación de orden que hemos definido en \(\mathbb{N}\).
En el caso en que usemos \(\leq\), tendríamos que \(a \leq b\) si y sólo si existe \(m \in \mathbb{N}\cup \{0\}\) tal que \(a + m = b\).
Proposición 6.5 Sean \(m ,n \in \mathbb{N}\cup \{0\}\). Entonces
\(-n< -m\) si y sólo si \(m<n\). En particular para \(m\neq 0\), \(-m < 0\).
\(-m\leq n\) y si \(m\neq 0\), entonces \(-m<n\).
Corolario 6.1 \(\mathbb{N} = \{ x \in \mathbb{Z}|x > 0\}\).
La propiedad del buen orden que se tiene en \(\mathbb{N}\), no se conserva en \(\mathbb{Z}\), es decir, existen subconjuntos no vacíos de \(\mathbb{Z}\) que no tienen elemento mínimo; por ejemplo \(A = \{-n| n \in \mathbb{N}\}\) no tiene elemento mínimo.
En la siguiente proposición presentamos las propiedades de \(<\) (cada una de ellas también es válida para \(\leq\)).
Proposición 6.6 Sean \(a, b ,c ,d \in \mathbb{Z}\).
\(a \leq b\) si y sólo si \(- b \leq -a\).
Si \(a < b\), entonces \(a + c < b + c\).
Si \(a < b\) y \(c < d\), entonces \(a + c < b + d\).
Si \(a < b\) y \(0 < c\), entonces \(a \cdot c < b \cdot c\).
Si \(0 < a < b\) y \(0 < c < d\), entonces \(0 < a \cdot c < b \cdot d\).
Si \(a < b\) y \(c < 0\), entonces \(b \cdot c < a\cdot c\).
Si \(a \neq 0\), entonces \(0 < a^2\).