4 Grupos

Antes de brindar la definición de grupo y algunas propiedades, se presenta el conjunto de todas las aplicaciones inyectivas de un conjunto \(S\) no vacío sobre sí mismo.

4.1 A(S)

\(A(S)\) es el conjunto de todas las aplicaciones inyectivas de un conjunto \(S\) no vacío sobre sí mismo. Cuando \(S\) tiene un número finito de elementos, digamos \(n\), a \(A(S)\) se le llama grupo simétrico de grado \(n\) y se denota a menudo por \(S_n\), sus elementos son denominados permutaciones de \(S\).

Lema 4.1 \(A(S)\) satisface lo siguiente:

Cerradura. \(f,g\in A(S)\) implica que \(f\circ g\in A(S)\).
Asociatividad. \(f,g, h\in A(S)\) implica que \((f\circ g) \circ h=f\circ (g \circ h)\).
Existencia de un elemento unidad Existe un elemento -la aplicación identidad \(i\)- tal que \(f\circ i= i \circ f=f\) para toda \(f\in A(S)\).
Existencia de funciones inversas. Dada \(f\in A(S)\), existe alguna \(g\in A(S)\) (\(g=f^{-1}\)) tal que \(f\circ g=g\circ f=i\).

Para determinar cuántos elementos hay en \(A(S)\) cuando \(S\) es un conjunto finito que consta de \(n\) elementos es necesario recordar algunos resultados.

Proposición 4.1 Principio de multiplicación. Si un procedimiento \(A_1\) puede efectuarse de \(n\) formas distintas y un segundo procedimiento \(A_2\) puede realizarse de \(m\) formas diferentes, entonces el total de formas en que puede efectuarse el primer procedimiento seguido del segundo, es el producto \(nm\), es decir,

\[\begin{equation} \#(A_1\times A_2)=\#A_1 \cdot \#A_2. \end{equation}\]

El principio de multiplicación es válido no solamente para dos procedimientos, sino que también es válido para cualquier sucesión finita de procedimientos. Por ejemplo, si \(A_1, A_2, \dots, A_k\) denotan \(k\) procedimientos sucesivos, entonces este principio se puede enunciar en símbolos, de la forma siguiente:

\[\begin{equation} \#(A_1\times A_2\times \cdots \times A_k)=\#A_1 \cdot \#A_2 \cdots \#A_k. \end{equation}\]

Definición 4.1 Sea \(n\) un entero no negativo, entonces \(n!\) (el factorial de \(n\)) se define como \(n!=1\cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n\).

Lema 4.2 Si \(S\) tiene \(n\) elementos, entonces \(A(S)\) consta de \(n!\) elementos.

Consideremos \(A(S)=S_3\), donde \(S=\{x_1, x_2, x_3\}\). Se enumeran los elementos de \(S_3\) de manera específica:

\[\begin{eqnarray} i: \quad & x_1 \rightarrow x_1, \quad & x_2 \rightarrow x_2, \quad & x_3 \rightarrow x_3, \\ f: \quad & x_1 \rightarrow x_2, \quad & x_2 \rightarrow x_3, \quad & x_3 \rightarrow x_1, \\ g: \quad & x_1 \rightarrow x_2, \quad & x_2 \rightarrow x_1, \quad & x_3 \rightarrow x_3, \\ g\circ f: \quad & x_1 \rightarrow x_1, \quad & x_2 \rightarrow x_3, \quad & x_3 \rightarrow x_2, \\ f\circ g: \quad & x_1 \rightarrow x_3, \quad & x_2 \rightarrow x_2, \quad & x_3 \rightarrow x_1, \\ f\circ f: \quad & x_1 \rightarrow x_3, \quad & x_2 \rightarrow x_1, \quad & x_3 \rightarrow x_2. \end{eqnarray}\]

Notemos algunas propiedades: \(f\circ g\neq g\circ f\), es decir, se verifica que la composición de funciones no es conmutativa. Al llevar a cabo la composición \(g\circ g\in S_3\), se obtiene \(g\circ g=i\). De manera análoga se obtiene:

\[\begin{equation} (f\circ g)\circ (f\circ g)=i=(g\circ f)\circ (g\circ f) \end{equation}\]

Nótese también que \(f\circ (f\circ f)=i\), por lo tanto \(f^{-1}=f\circ f\). Finalmente, se puede verificar que \(g\circ f=f^{-1}\circ g\).

Notación. Para simplificar la escritura de \(f\circ g\), se expresa simplemente como \(fg\) y diremos que la composición es el producto de \(f\) y \(g\). También se utilizarán exponentes, para \(f\in A(S)\) se define \(f^0=i\), \(f^1=f\), \(f^2=f \circ f=ff\) y así sucesivamente. Para exponentes negativos se define \(f^{-n}\) mediante \(f^{-n}=(f^{-1})^n\), donde \(n\) es un número positivo. La mayoría de las leyes usuales de los exponentes prevalecen, a saber \(f^rf^s=f^{r+s}\) y \((f^r)^s=f^{rs}\).

No debe concluirse que todas las propiedades conocidas de los exponentes se satisfacen. Por ejemplo, en el caso de las \(f,g\in S_3\), definidas anteriormente afirmamos que \((fg)^2\neq f^2g^2\).

Sin embargo, algunas otras propiedades conocidas sí se cumplen. Por ejemplo, si \(f,g,h\in A(S)\) y \(fg=gh\), entonces \(g=h\). De manera análoga, \(gf=hf\) implica que \(g=h\).

Ejercicio 4.1 Si \(S=\{x_1, x_2, x_3,x_4\}\), sean \(f,g\in S_4\) definidas mediante

\[\begin{eqnarray} f: \quad & x_1 \rightarrow x_2, \quad & x_2 \rightarrow x_3, \quad & x_3 \rightarrow x_4, \quad & x_4 \rightarrow x_1, \\ g: \quad & x_1 \rightarrow x_2, \quad & x_2 \rightarrow x_1, \quad & x_3 \rightarrow x_3, \quad & x_4 \rightarrow x_4. \end{eqnarray}\]

Calcular

\(f^2\), \(f^3\), \(f^4\).
\(g^2\), \(g^3\).
\(fg\).
\(gf\).
\((fg)^3\), \((gf)^3\).
¿Son iguales \(fg\) y \(gf\)?

Ejercicio 4.2 Si \(f\in S_3\), demuéstrese que \(f^6=i\)

Ejercicio 4.3 ¿Es posible encontrar un entero positivo \(m\) tal que \(f^m=i\) para toda \(f\in S_4\)?

4.2 Grupos

Definición 4.2 Se dice que un conjunto no vacío \(G\) es un grupo si en él hay definida una operación \(*\) tal que:

\(a,b\in G\) implica que \(a*b\in G\). Esto se describe diciendo que \(G\) es cerrado respecto a \(*\).
Dados \(a,b,c\in G\), se tiene que \(a*(b*c)=(a*b)*c\). Esto se describe diciendo que es válida la ley asociativa en \(G\).
Existe un elemento especial \(e\in G\) tal que \(a*e=e*a=a\) para todo \(a\in G\), \(e\) se llama elemento identidad o unidad de \(G\).
Para todo \(a\in G\) existe un elemento \(b\in G\) tal que \(a*b=b*a=e\) (este elemento \(b\) se escribe como \(a^{-1}\) y se llama inverso de \(a\) en \(G\)).

A la operación \(*\) en \(G\) se le suele llamar producto, pero no necesariamente está relacionada con el producto tal como se conoce en los enteros, racionales, reales o complejos.

4.2.1 Ejemplos de grupos

Ejemplo 4.1 Sean \(\mathbb{Z}\) el conjunto de los números enteros y \(*\) la adición ordinaria \(+\) en \(\mathbb{Z}\). Tenemos que \(\mathbb{Z}\) es cerrado y asociativo respecto a \(*\) (dado que la suma de dos números enteros es un número enteros y la adición es asociativa). Puesto que

\[\begin{equation} a * e= a+e=a, \end{equation}\]

se tiene que el elemento identidad es \(e=0\) respecto a la adición. En el caso del inverso tenemos:

\[\begin{equation} e =0 = a * a^{-1}= a+a^{-1}, \end{equation}\]

luego, el inverso para cada \(a\in \mathbb{Z}\) respecto a esta operación es \(-a\in \mathbb{Z}\).

Ejemplo 4.2 Sean \(\mathbb{Q}\) el conjunto de los números racionales y la operación en \(*\) en \(\mathbb{Q}\) la suma ordinaria de ellos. Se puede demostrar que \(\mathbb{Q}\) es un grupo respecto a \(*\). Nótese que \(\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\) y que ambos son grupos respecto a la misma operación.

Ejemplo 4.3 El conjunto \(\mathbb{Q}'\) de los números racionales diferentes de cero es un grupo relativo a la operación \(*\) en \(\mathbb{Q}'\) definida como la multiplicación ordinaria de ellos.

Ejemplo 4.4 Sean \(\mathbb{R}'\) el conjunto de los números reales positivos y la operación \(*\) en \(\mathbb{R}'\) el producto ordinario de ellos. Se puede comprobar que \(\mathbb{R}'\) es un grupo respecto a \(*\).

Ejemplo 4.5 Sea \(U_n\) el conjunto de potencias \(\theta_n^i\), \(i=0, 1, 2, \dots, n-1\), donde \(\theta_n\) es el número complejo \(\theta_n= cos(2\pi/n) + i\,sen(2\pi/n)\). Sea \(\theta_n^k* \theta_n^j=\theta_n^{k+j}\), el producto ordinario de las potencias de \(\theta_n\) como números complejos. Por el teorema de De Moivre tenemos que \(\theta_n^n=1\). Posteriormente se verá que \(U_n\) es un grupo respecto a \(*\).

Los primeros 4 de estos 5 ejemplos constan de un número infinito de elementos, mientras que \(U_n\) tiene un número finito, \(n\), de elementos.

Definición 4.3 Se dice que un grupo \(G\) es un grupo finito si consta de un número finito de elementos. El número de elementos de \(G\) se llama orden de \(G\) y se denota por \(|G|\).

Por ejemplo, el grupo simétrico de grado \(n\), \(S_n\), tiene orden igual a \(n!\).

Los ejemplos presentados previamente satisfacen la propiedad adicional de que \(a*b=b*a\) para todos los pares de elementos. No es necesario que en un grupo esto sea verdadero; por ejemplo, en el caso de \(A(S)\), donde \(S\) tiene tres o más elementos, se tiene que se podían encontrar \(f,g\in A(S)\) tales que \(fg\neq gf\).

Definición 4.4 Se dice que un grupo \(G\) es abeliano si \(a*b=b*a\) para todos \(a,b\in G\).

A continuación se brinda un ejemplo de un grupo no abeliano.

Ejemplo 4.6 Sean \(\mathbb{R}\) el conjunto de los números reales y \(G\) el conjunto de todas las aplicaciones \(T_{a,b}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) definidas por \(T_{a,b}(x)= ax+b\) para todo \(x\in \mathbb{R}\), donde \(a,b\in \mathbb{R}\) y \(a\neq 0\). Las \(T_{a,b}\) son aplicaciones biyectivas de \(\mathbb{R}\) sobre sí mismo y se define \(T_{a,b}*T_{c,d}\) como la composición de estas aplicaciones.

Como se hizo con \(A(S)\) se introduce la notación abreviada \(a^n=a*a*\cdots*a\) con \(n\) factores y se define \(a^{-n}=(a^{-1})^n\), para \(n\) entero positivo y \(a^0=e\). Las reglas ordinaria de los exponentes son válidas, es decir, \((a^m)^n=a^{mn}\) y \(a^m * a^n=a^{m+n}\) para cualesquiera enteros \(m\) y \(n\).

4.2.2 Algunas observaciones

En lo sucesivo también expresaremos al producto \(a*b\) simplemente como \(ab\) para todos \(a,b\in G\).

Lema 4.3 Si \(G\) es un grupo, entonces:

Su elemento identidad es único.
Todo \(a\in G\) tiene un inverso único \(a^{-1}\in G\).
Si \(a\in G\), \((a^{-1})^{-1}=a\).
Para \(a,b\in G\), \((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\).

A continuación se presenta un resultado, el cual enuncia que en una ecuación se puede cancelar un elemento dado por el mismo lado.

Lema 4.4 En todo grupo \(G\), si \(a,b\in G\) y

\(ab=ac\), entonces \(b=c\),
\(ba=ca\), entonces \(b=c\).

4.3 Subgrupos

Definición 4.5 Un subconjunto no vación \(H\) de un grupo \(G\) se llama subgrupo de \(G\), si \(H\) mismo forma un grupo relativo al producto de \(G\).

Todo grupo \(G\) tiene dos subgrupos triviales, el mismo \(G\) y el subgrupo que consiste del elemento identidad \(e\).

Cuando se trata de verificar si \(A\subset G\) es un subgrupo no es necesario comprobar la ley asociativa. Así, dado un subconjunto \(A\) de un grupo \(G\), para comprobar que \(A\) es un subgrupo se debe verificar que \(A\) sea cerrado respecto a la operación de \(G\), que \(e\in A\) y que, dado cualquier \(a\in A\) se tenga que \(a^{-1}\in A\). Inclusive, se puede omitir una de estas comprobaciones como lo enuncia el siguiente lema.

Corolario 4.1 Si \(G\) es un grupo finito y \(H\) un subconjunto no vacío de \(G\) cerrado respecto a la multiplicación, entonces \(H\) es un subgrupo de \(G\).