4  Relaciones de equivalencia

Definición 4.1 Sea \(X\) un conjunto y \(R\) una relación de \(X\) en \(X\). Decimos que \(R\) es una relación de equivalencia en \(X\) si tiene las siguientes propiedades:

  1. \((x,x)\in R\) para toda \(x\in X\) (Propiedad reflexiva).

  2. Si \((x,y) \in R\), entonces \((y, x) \in R\) (Propiedad simétrica)

  3. Si \((x, y) \in R\) y \((y, z) \in R\) entonces \((x, z) \in R\) (Propiedad transitiva)

Es inmediato de la definición que si \(R\) es una relación de equivalencia, entonces \(Dom(R) = X\) e \(Im(R) = X\).

Notación. Sea \(R\) una relación de equivalencia en \(X\) . Por \(x \underset{R}{\sim} y\) entenderemos que \((x,y) \in R\) y cuando no pueda haber confusión omitiremos \(R\); es decir, simplemente escribiremos \(x \sim y\), y diremos que \(\underset{R}{\sim}\) o \(\sim\) es una relación de equivalencia.

En el caso en que \((x,y)\notin R\) escribiremos \(x \underset{R}{\nsim} y\) o \(x \nsim y\). Si \(x \sim y\), diremos que \(x\) está relacionado con \(y\) (según \(R\)).

Con esta notación tenemos que \(\underset{R}{\sim}\) es una relación de equivalencia si y sólo si,

  1. \(x \underset{R}{\sim} x\) para toda \(x\in X\) (reflexiva)

  2. Si \(x \underset{R}{\sim} y\) entonces \(y \underset{R}{\sim} x\) (simétrica).

  3. Si \(x \underset{R}{\sim} y\) y \(y \underset{R}{\sim} z\) entonces \(x \underset{R}{\sim} z\) (transitiva).

Ejemplo 4.1 Sea \(X\) cualquier conjunto. \(\Delta_X = \{(x,x) | x \in X\}\) y \(X \times X\) son relaciones de equivalencia en \(X\). Con la notación \(\underset{R}{\sim}\) respectivamente se tiene: para \(x , y \in X\), \(x \underset{R}{\sim} y\) si y sólo si \(x = y\) y, si denotamos por \(\sim\) a \(X \times X\), \(x \sim y\) para todo \(x , y \in X\).


Definición 4.2 Sea \(R\) una relación de equivalencia en un conjunto \(X\) y \(a\in X\). La clase de equivalencia de \(a\) respecto a \(R\) (o la \(R\)-clase de equivalencia de \(a\)), es el subconjunto de \(X\), denotado por \([a]_R\) (o simplemente \([a]\)), definido por

\[\begin{equation} [a]_R=\{x\in X| a\underset{R}{\sim} x\} \end{equation}\]


Debido a que \(a\underset{R}{\sim} a\) para todo \(a\in X\), para una relación de equivalencia \(\underset{R}{\sim}\) se tiene que \(a\in [a]_R\) y por lo tanto \([a]_R\neq \emptyset\) para toda \(a\in X\).

Dada una relación de equivalencia \(\sim\) en un conjunto \(X\), estamos asociando a cada elemento \(a\in X\) un subconjunto \([a]\) de \(X\) que es su clase de equivalencia.

Teorema 4.1 Sea \(\sim\) una relación de equivalencia en \(X\) y sean \(a, b\in X\). Las siguientes propiedades son equivalentes,

  1. \(a\sim b\),

  2. \([a]=[b]\),

  3. \([a]\cap [b]\neq \emptyset\).

Corolario 4.1 Sea \(R\) una relación de equivalencia en \(X\). Si \(a,b\in X\), entonces \([a]=[b]\) o \([a]\cap [b]=\emptyset\).

Corolario 4.2 Sea \(R\) una relación de equivalencia en \(X\) . Si \(a,b \in X\), entonces \(a \in [b]\) si y sólo si \([a] = [b]\).

Notación. Sea \(R\) una relación de equivalencia en \(X\). Denotamos por \(P_R\) al conjunto de las clases de equivalencia.


Dada una relación de equivalencia en \(X\) y \(a\in X\) a cualquier elemento \(x \in [a]\) se le llama un representante de la clase de equivalencia \([a]\); esto significa que una clase de equivalencia tiene tantos representantes como elementos. Podemos indicar el conjunto \(P_R\) de las clases de equivalencia, teniendo a \(X\) como conjunto de índices, mediante la función

\[\begin{equation} f: X \longrightarrow P_R, \qquad \text{ dada por }\quad f(x)=[x]; \end{equation}\]

obsérvese que \(f\) es sobreyectiva y, en general, cuando la relación no sea \(\Delta_X\), \(f\) no es inyectiva, pues si \(x\sim y\) entonces \(f(x)=[x]=[y]=f(y)\). Sin embargo, si por cada clase de equivalencia consideramos un representante y al conjunto de estos los denotamos por \(S\), entonces podemos indicar los elementos de \(P_R\) usando la función biyectiva \(g:S \rightarrow P_R\) dada por \(g(x)=[x]\) para toda \(x\in S\).


Para una familia arbitraria de conjuntos \(\{ A_i\}_{i\in I}\) su unión está dada por

\[\begin{equation} \bigcup_{i\in I} A_i = \{x | x \in A_i \text{ para alguna } i\in I \}. \end{equation}\]

De manera análoga se tiene

\[\begin{equation} \bigcup_{a\in S} [a] = \{x | x \in [a] \text{ para alguna } a\in S \}. \end{equation}\]


Definición 4.3 Sea \(R\) una relación de equivalencia, en un conjunto \(X\) . Un subconjunto \(S\) de \(X\) es un conjunto completo de representantes respecto a \(R\), si

  1. Para cualesquiera \(a, b \in S\) ; \([a] \cap [b] = \emptyset\) si \(a\neq b\).
  2. \(\bigcup_{a\in S} [a] = X\).

El conjunto \(S\) recién definido es un conjunto completo de representantes, pues satisface:

  1. Para cualesquiera \(a ,b \in S\), si \(a\neq b\), entonces \(a\) y \(b\) pertenecen a distintas clases (recuérdese que hemos tomado un representante por cada clase), luego \([a] \cap [b] = \emptyset\).

  2. \(X = \bigcup_{a\in S} [a]\) ya que dado \(x \in X\), algún \(a \in S\) es representante de \([x]\), luego \([a]=[x]\) y entonces \(x \in [a]\). Por lo tanto \(x\in \bigcup_{a\in S}[a]\).


Cada relación de equivalencia en \(X\) determina una familia de subconjuntos de \(X\) que satisfacen:

Definición 4.4 Sea \(X\) un conjunto no vacío y \(P = \{X_i\}_{i\in I}\) una familia de subconjuntos de \(X\). Decimos que \(P\) es una partición de \(X\) si satisface

  1. \(X_i\neq \emptyset\) para toda \(i\in I\).

  2. Para toda \(i,j \in I\), \(X_i\neq X_j\) implica \(X_i\cap X_j=\emptyset\).

  3. \(\bigcup_{i\in I} X_i=X\).

Nota Si de antemano sabemos que \(P=\{ X_i\}_{i\in I}\) es una familia de subconjuntos de \(X\), y todos los conjuntos \(X_i\) son distintos entre sí, para verificar que \(P\) es una partición de \(X\) la condición (2) de la definición anterior se puede sustituir por \(X_i \cap X_j=\emptyset\) si \(i\neq j\). Así, se tiene la definición alterna:

Definición 4.5 Sea \(X\) un conjunto no vacío y \(P=\{X_i\}_{i\in I}\) una familia de subconjuntos de \(X\) distintos dos a dos; decimos que \(P\) es una partición de \(X\) si satisface:

  1. \(X_i\neq \emptyset\) para toda \(i\in I\).

  2. \(X_i\cap X_j=\emptyset\) si \(i\neq j\).

  3. \(\bigcup_{i\in I} X_i=X\).


Ejemplo 4.2 Para cada conjunto \(X\neq \emptyset\), \(P = \{X\}\) y \(P'= \{\{x\} | x \in X\}\) son particiones de \(X\).

Ejemplo 4.3 Sean \(X = \{ a,b,c,d\}\), \(X_1 = \{a,b\}\), \(X_2 = \{c\}\), \(X_3 = \{d\}\). \(\{X_1, X_2, X_3\}\) es una partición de \(X\).

Ejemplo 4.4 Sean \(X = \{1,2,3,4,5\}\), \(X_1 = \{1\}\), \(X_2 = \{2,4\}\), \(X_3 = \{1,3,5\}\). Aún cuando \(X = X_1 \cup X_2 \cup X_3\), \(\{X_1,X_2, X_3\}\) no es una partición de \(X\) ya que \(X_1\cap X_3 = \{1\}\neq \emptyset\) y \(X_1 \neq X_3\).

Ejemplo 4.5 Sean \(\mathbb{N}\) el conjunto de los números naturales, \(X_1 = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ es par } \}\) y \(X_2 = \{x \in \mathbb{N} | x \text{ es impar } \}\). \(P = \{X_1,X_2 \}\) es una partición de \(X\).

Teorema 4.2 Sea \(X\) un conjunto no vacío, \(R\) una relación de equivalencia en \(X\) y \(S\) un conjunto completo de representantes de \(X\) respecto a \(R\). Entonces \(P_R = \{ [a]_R| a\in S\}\) es una partición de \(X\).

Veamos ahora que cada partición en \(X\) induce a su vez una relación de equivalencia en \(X\).

Teorema 4.3 Sean \(X\) un conjunto no vacío y \(P=\{X_i\}_{i\in I}\) una partición en \(X\) donde \(X_i\neq X_j\) si \(i\neq j\). Entonces la relación definida en \(X\) por: “\(x \underset{R_P}{\sim}y\) si y sólo si existe \(i \in I\) tal que \(x ,y \in X_i\)” es de equivalencia en \(X\).

Nota. Es importante mencionar que puede haber más de un conjunto de representantes para una relación de equivalencia \(R\) en \(X\) y, en este sentido se podrá pensar que la partición dada en el penúltimo teorema depende del conjunto de representantes dados. Sin embargo esto no es así, pues si \(S\) y \(S'\) son dos conjuntos de representantes y \(P_R\) y \(P_R'\) son las particiones correspondientes definidas en tal teorema, se puede demostrar que son iguales; de tal manera que esta correspondencia define una función del conjunto de relaciones de equivalencias en \(X\) en el conjunto de particiones de \(X\).

Si \(X\) es un conjunto no vacío, denotemos por

\[\begin{equation} \mathscr{R}=\{ \text{ relaciones de equivalencia en } X\} \end{equation}\]

y por

\[\begin{equation} \mathscr{P}=\{ \text{ particiones en } X\} \end{equation}\]

y sean \(\mu: \mathscr{R}\longrightarrow \mathscr{P}\) y \(\nu: \mathscr{P}\longrightarrow \mathscr{R}\) definidas, respectivamente, por \(\mu(R)=P_R\), donde la partición \(P_R\) está definida como en el penúltimo teorema y \(\nu(P)=R_P\), donde \(R_P\) está definida como en el último teorema.

Teorema 4.4 Sea \(X\) un conjunto no vacío, entonces las funciones \(\mu: \mathscr{R}\longrightarrow \mathscr{P}\) y \(\nu: \mathscr{P}\longrightarrow \mathscr{R}\) definidas por \(\mu(R)=P_R\) y \(\nu(P)=R_P\) satisfacen \(\nu \circ \mu= 1_{\mathscr{R}}\) y \(\mu \circ \nu= 1_{\mathscr{P}}\).

Dada una relación de equivalencia \(R(\sim)\) en \(X\), es usual denotar al conjunto \(P_R\) de clases de equivalencia por \(X/R(X/\sim)\) y lo llamaremos el conjunto cociente de \(X\) respecto a \(R(\sim)\). Existe una función canónica de \(X\) en \(X/R\) que asocia a cada elemento \(a\in X\) su clase \([a]\).

Teorema 4.5 Sea \(\sim\) una relación de equivalencia en \(X\). La función canónica \(\varphi:X\rightarrow X/\sim\) definida por \(\varphi(a)=[a]\) es sobreyectiva. Además \(\varphi(a)=\varphi(b)\) si y sólo si \(a\sim b\).

4.1 Operaciones con una familia arbitraria de conjuntos.

Las definiciones de unión e intersección de dos conjuntos pueden extenderse a cualquier familia de conjuntos:

Definición 4.6 Sea \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia arbitraria de conjuntos. La unión \(\bigcup\limits_{i\in I} A_i\) de \(\{A_i\}_{i\in I}\) es el conjunto:

\[\begin{equation} \bigcup_{i\in I} A_i=\{ x| x\in A_i\text{ para alguna } i\in I\}. \end{equation}\]


Definición 4.7 Sea \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia arbitraria no vacía de conjuntos. La intersección \(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\) de \(\{A_i\}_{i\in I}\,\) es el conjunto

\[\begin{equation} \bigcap_{i\in I}A_i=\{ x| x\in A_i\text{ para toda } i\in I\}. \end{equation}\]

Luego, según las definiciones tenemos que

\[\begin{equation} \begin{array}{l} x \in \bigcup\limits_{i \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \exists i \in I \text { tal que } x \in A_{i} \\ x \in \bigcap\limits_{j \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \forall i \in I \quad x \in A_{i} \end{array} \end{equation}\]

De aquí tenemos que

\[\begin{equation} \begin{array}{l} x \notin \bigcup\limits_{i \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \forall i \in I\left(x \notin A_{i}\right) \\ x \notin \bigcap\limits_{i \in I} A_{i} \Longleftrightarrow \exists i \in I\left(x \notin A_{i}\right) \end{array} \end{equation}\]


Teorema 4.6 Sea \(\{A_i\}_{i\in I}\,\) una familia de conjuntos. Entonces

  1. \(A_j \subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i\,\) para toda \(j \in I\).

  2. Si \(I\neq \emptyset \qquad\) entonces \(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\subseteq A_j\,\) para toda \(j \in I\).


Teorema 4.7 Sea \(\{A_i\}_{i\in I}\,\) una familia de conjuntos y \(X\) cualquier conjunto. Entonces

  1. \(X \cap \left(\bigcup\limits_{i\in I}A_i\right)= \bigcup\limits_{i\in I} ( X \cap A_i)\).

  2. \(X - \left(\bigcup\limits_{i\in I}A_i\right)= \bigcap\limits_{i\in I} ( X - A_i)\quad\) donde \(I \neq \emptyset\).


Teorema 4.8 Sean \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia no vacía de conjuntos y \(X\) un conjunto. Entonces

  1. \(X \cup \left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)= \bigcap\limits_{i\in I} ( X \cup A_i)\).

  2. \(X - \left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)= \bigcup\limits_{i\in I} ( X - A_i)\,\) donde \(I \neq \emptyset\).